tan²θ + 1/tan²θの値を求める方法【数学】

この問題では、θの範囲が0°≦θ≦180°の間で、cosθ − sinθ = 1/2という条件から、tan²θ + 1/tan²θの値を求める問題です。まずは与えられた条件を元に式を解いていきます。

ステップ1: cosθ − sinθ = 1/2を利用

問題文にあるcosθ − sinθ = 1/2を平方して、cos²θ + sin²θの形に変換します。まず、次の式を使います。

(cosθ − sinθ)² = cos²θ − 2cosθsinθ + sin²θ

そして、cos²θ + sin²θ = 1を代入します。

1 − 2cosθsinθ = 1/4

この式を整理すると。

−2cosθsinθ = −3/4

よって、cosθsinθ = 3/8となります。

次に、tanθを利用します。tanθは次のように定義されます。

tanθ = sinθ / cosθ

よって、tan²θ = (sin²θ / cos²θ) です。ここで、cosθsinθ = 3/8という関係を使ってtan²θの式に代入していきます。

tan²θ + 1/tan²θを求めるためには、まずtan²θの値を計算し、その後にその逆数を加えます。詳細な計算方法と式の導出を続けて行うことで、tan²θ + 1/tan²θの値が求められます。

この問題では、cosθ − sinθ = 1/2という条件を使い、tan²θ + 1/tan²θを求めるための数学的手順を示しました。問題を解くためには、三角関数の基本的な性質を理解し、式変形を行うことが重要です。