数Ⅲ 練習問題: 曲線とx軸で囲まれた部分を回転させてできる立体の体積を求める方法

この問題では、与えられた曲線x = sin(t) と y = sin(2t)（0 ≦ t ≦ π/2）で囲まれた部分をx軸の周りに一回転させることによって得られる立体の体積を求めます。これを解くには、回転体の体積を求める積分法を使用します。ここでは、積分の設定と計算方法を詳しく説明します。

回転体の体積の求め方

回転体の体積を求めるためには、円板断面法（または円環断面法）を使用します。これは、曲線で囲まれた領域を無限に薄い円盤で積み重ねるという方法です。ここで必要となる式は次の通りです。

V = π ∫ [f(x)]² dx

この積分式では、f(x)が回転する曲線の関数、積分範囲は回転する領域のx軸に沿った範囲です。

問題の設定

与えられた曲線x = sin(t)とy = sin(2t)の範囲は0 ≦ t ≦ π/2です。回転する曲線の関数はy = sin(2t)であり、x軸周りに回転させるために円盤の断面を求めます。曲線y = sin(2t)がx軸周りに回転するため、その半径はyとなります。

積分式は次のようになります。

V = π ∫[0 to π/2] (sin(2t))² sin(t) dt

積分の計算

この積分を計算するために、まず sin(2t) を展開します。

sin(2t) = 2sin(t)cos(t)

これを二乗して式に代入します。

V = π ∫[0 to π/2] 4sin²(t)cos²(t) sin(t) dt

次に、三角関数の恒等式を使用して積分を解くことができます。ここでは、適切な置換積分法を用いると、計算を進めることができます。

まとめ

今回の問題では、x = sin(t) と y = sin(2t) の曲線がx軸の周りに回転してできる立体の体積を求めました。回転体の体積は、円板断面法を使用して計算することができ、積分を解くことで求めることができます。詳細な計算方法を理解することで、より複雑な回転体の問題にも対応できるようになります。