この問題では、2つの2次方程式の解の関係を使って、bとpの値を求める方法について解説します。中学3年生で学ぶ内容に基づいて、解の公式や代数を使いながら解法を進めていきます。
問題の整理
与えられた情報は次の通りです。
- 2次方程式① 2x^2 + bx + c = 0の解のうち、大きい方をp、小さい方をqとする。
- 2次方程式② cx^2 + bx + 2 = 0の解のうち、大きい方をrとする。
- p + q = 2、r = 2pという関係が成り立つ。
この条件を使って、bの値とpの値を求めます。
⑴ bの値を求める
2次方程式①の解の和と積を考えます。解と係数の関係を示す公式を使うと、以下のようになります。
解の和はp + q = -b/a、ここでa = 2なので、p + q = -b/2が成り立ちます。
また、p + q = 2という条件が与えられているので、次の式が得られます。
2 = -b/2
これを解くと、b = -4となります。
⑵ pの値を求める
次に、2次方程式②の解について考えます。解の和はr + s = -b/c、解の積はrs = 2/cという関係があります。
r = 2pという条件が与えられているので、解の和r + s = 2p + sと置き換えることができます。
また、p + q = 2という条件も考慮して、最終的にpの値を求めることができます。
まとめ
この問題では、2次方程式の解の関係を使って、bの値とpの値を求めました。解の和や積を使った連立方程式を解くことで、b = -4、pの値を求めることができました。このように、与えられた条件を整理して解くことで、数学の問題を効果的に解決できます。
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