Σ(k=1〜100)(k^2)×(-1)^(k-1)を差分を用いて解く方法

Σ(k=1〜100)(k^2)×(-1)^(k-1)のような和の問題を解くためには、差分を用いた方法を理解することが重要です。この記事では、この式を差分を使って求める方法を詳しく解説します。

問題の理解と式の整理

まず、この式を見てみましょう。

Σ(k=1〜100)(k^2)×(-1)^(k-1)

これは、kが1から100までの範囲で、k^2に(-1)^(k-1)を掛けたものの和です。ここで、(-1)^(k-1)が交互に符号を変えるため、式は正負が交互に加算される和になります。

式を整理すると、次のような形になります。

1^2 – 2^2 + 3^2 – 4^2 + 5^2 – … + (-1)^(99) × 100^2

差分法を使うことで、こうした和を求める問題を効率的に解くことができます。差分を使った方法では、まず式の部分的な変化を捉え、それを累積的に計算していきます。

まずは、(-1)^(k-1)の影響を無視して、k^2の和を求めます。k^2の和は、一般的な公式を用いて簡単に求めることができます。公式は次の通りです。

Σ(k=1〜n)(k^2) = n(n+1)(2n+1)/6

この公式を使って、n=100の場合のk^2の和を求めることができます。

次に、(-1)^(k-1)の影響を考慮して、符号が交互に変わることを計算に反映させます。これは、上記のk^2の和を正負交互に適用することで実現できます。

具体的には、偶数番目の項はマイナス、奇数番目の項はプラスになるため、計算を行う際にはその符号を反映させます。この方法で、正負が交互に加算される和を計算できます。

実際に計算すると、Σ(k=1〜100)(k^2)×(-1)^(k-1) の値は次のように求められます。まず、k^2の和を求め、その後に符号を交互に適用して最終的な合計を得ます。

このように、Σ(k=1〜100)(k^2)×(-1)^(k-1)を解くためには、差分を用いて和の部分的な変化を計算し、符号の交互変化を反映させる方法が有効です。差分法を使うことで、計算の効率を上げ、複雑な和を簡単に解くことができます。