少数が「割り切れる」かどうかの判別法について

分数の割り切れるかどうか、つまり小数として「有限小数」となるか「循環小数」となるかを判別する方法について解説します。具体的な例として、1/3 や 2/7、7/15 などの循環小数、また 4/2 や 2/5 などの有限小数の例があります。ここでは、これらの違いを理解し、一般的な判別法を紹介します。

有限小数と循環小数の違い

まず、分数が有限小数になるか循環小数になるかの違いを簡単に説明します。有限小数は、分数を小数にしたときに、小数点以下が有限の桁数で終わるものです。一方、循環小数は、小数点以下の数字が同じ順番で繰り返すものです。

分数 m/n が有限小数になる条件は、分母 n が 2 と 5 のみの素因数を持っている場合です。つまり、n が 2 や 5 の積で表される場合、分数は有限小数になります。例えば、2/5 や 4/2 はどちらも有限小数となります。

一方で、分数 m/n が循環小数になるのは、分母 n が 2 や 5 以外の素因数を持つ場合です。例えば、1/3 や 2/7 は循環小数となり、循環する小数点以下の数字が繰り返されます。

具体的には、分母の素因数分解を行い、2 と 5 以外の素因数が残る場合、その分数は循環小数になります。例えば、15 の場合、15 = 3 × 5 なので、分数 7/15 は循環小数になります。分母が 2 や 5 のみによって構成されていれば、その分数は有限小数になります。

分数が有限小数か循環小数かを判別する方法は、分母の素因数分解によって簡単に判断できます。分母に 2 や 5 のみの素因数が含まれている場合は有限小数となり、それ以外の場合は循環小数となります。この知識を活用して、分数がどのような小数になるのかを素早く判別できるようになりましょう。