この問題では、与えられた式が恒等式となるように、定数a, b, cの値を求める必要があります。恒等式とは、どんな値のxにおいても成り立つ等式のことです。この問題においては、左辺の式を展開して、右辺のx² + 3と比較することで、a, b, cの値を求めます。具体的な解法をステップごとに解説します。
問題の式を展開する
最初に与えられた式は次の通りです。
ax(x+1) + bx(x-1) + c(x-1)(x-3) = x² + 3
この式をまずは左辺を展開していきます。各項を順番に展開しましょう。
各項を展開する
まず、最初の項 ax(x+1) を展開します。
ax(x+1) = ax² + ax
次に、bx(x-1) を展開します。
bx(x-1) = bx² – bx
最後に、c(x-1)(x-3) を展開します。
c(x-1)(x-3) = c(x² – 4x + 3) = cx² – 4cx + 3c
これで、左辺は次のように整理されます。
ax² + ax + bx² – bx + cx² – 4cx + 3c
同類項をまとめる
次に、x²の項、xの項、定数項をそれぞれまとめます。
（x²の項）: ax² + bx² + cx² = (a + b + c)x²
（xの項）: ax – bx – 4cx = (a – b – 4c)x
（定数項）: 3c
したがって、左辺は次のようになります。
(a + b + c)x² + (a – b – 4c)x + 3c
右辺と比較する
右辺の式は x² + 3 です。これと左辺を比較すると、各項の係数が一致する必要があります。
したがって、次の方程式が得られます。
- x²の係数: a + b + c = 1
- xの係数: a – b – 4c = 0
- 定数項: 3c = 3
これらの方程式を順番に解いていきます。
連立方程式を解く
まず、定数項から c の値を求めます。
3c = 3 から、c = 1
次に、c = 1 を代入して、残りの2つの方程式を解きます。
a + b + 1 = 1 より、a + b = 0 となります。
a – b – 4(1) = 0 より、a – b = 4 となります。
この連立方程式を解くと、a と b の値が求められます。
a + b = 0 と a – b = 4 を足すと。
2a = 4 から、a = 2
次に、a = 2 を a + b = 0 に代入すると。
2 + b = 0 より、b = -2
最終的な解
したがって、a = 2、b = -2、c = 1 となります。これが求める定数の値です。
まとめ
この問題では、与えられた二次方程式を展開し、同類項をまとめて右辺と比較することで、定数a、b、cの値を求める方法を解説しました。最終的に、a = 2、b = -2、c = 1 が答えとなります。連立方程式を解く過程をしっかりと理解することが重要です。
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