中学3年生の数学でよく出題される問題の一つに、二次方程式の解を求める問題があります。ここでは、「x^2 + ax + 10 = 0」という二次方程式が与えられ、解が正の整数であるときのaの値を求める問題について解説します。この問題では、二次方程式の解と係数との関係を利用して、aの値を導き出します。
問題の理解と解法の基本
問題文にある「二次方程式x^2 + ax + 10 = 0」の解が正の整数であるとき、aの値を求めるためには、まずこの方程式がどのような形かを理解する必要があります。
二次方程式の一般形は、ax^2 + bx + c = 0 という形です。この問題では、x^2の係数が1、xの係数がa、定数項が10となっています。解が正の整数であるという条件をもとに、解の公式や因数分解を用いて解きます。
解の公式と因数分解を使う
二次方程式の解を求める方法として、解の公式を使うことができます。しかし、この問題では因数分解を用いた方が効率的です。
まず、x^2 + ax + 10 = 0を因数分解します。解が正の整数であるため、次のように因数分解できます。
(x + p)(x + q) = 0
ここで、pとqは正の整数です。すると、次の式が得られます。
p + q = -a および pq = 10
pq = 10 の場合のpとq
pq = 10 の場合、pとqの組み合わせは次のように考えられます。
- p = 1, q = 10
- p = 2, q = 5
- p = 5, q = 2
- p = 10, q = 1
これらの組み合わせから、aの値を求めます。aは、pとqの和の負の値となります。例えば、p = 1, q = 10の場合、a = -(1 + 10) = -11となります。
aの値を求める
次に、pとqのそれぞれの組み合わせについて、aの値を求めます。
- p = 1, q = 10 のとき、a = -11
- p = 2, q = 5 のとき、a = -7
- p = 5, q = 2 のとき、a = -7
- p = 10, q = 1 のとき、a = -11
したがって、aの値は-11と-7であることがわかります。
まとめ
この問題では、二次方程式の解が正の整数であるという条件を利用し、因数分解を用いてaの値を求めました。解が正の整数である場合、解の公式よりも因数分解を使う方が効率的で、pとqの組み合わせを考えてaの値を求めることができます。
最終的に求められるaの値は-11と-7です。このような問題を解く際には、因数分解や式の整理をしっかりと行い、解の条件を適切に使うことが重要です。
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