頂点と通る点から二次関数を求める方法（高校数学の問題解説）

高校数学の問題で、与えられた頂点と通る点から二次関数を求める方法を解説します。問題は、頂点が点(1, -6)で、点(3, 2)を通る放物線の二次関数を求めるというものです。この記事では、問題を解くためのステップと解説を提供します。

1. 二次関数の一般形と頂点形式

二次関数の一般形は、y = ax² + bx + c です。しかし、頂点形式を使うとより簡単に解くことができます。頂点形式は、y = a(x – h)² + k で、(h, k)が放物線の頂点の座標です。この式を使うと、頂点の情報をすぐに利用することができます。

この問題では、頂点が(1, -6)であるため、h = 1、k = -6 となります。したがって、二次関数の式は次のようになります。

頂点形式を使って式を立てると、y = a(x – 1)² – 6 という式になります。ここで、aはまだ求めていません。

次に、この式に点(3, 2)を代入してaを求めます。点(3, 2)が放物線上にあるので、x = 3、y = 2 を代入します。

式にx = 3とy = 2を代入すると、2 = a(3 – 1)² – 6 となります。これを計算すると、2 = a(2)² – 6 となり、2 = 4a – 6 です。

次に、両辺に6を足して、8 = 4a となり、a = 2 となります。これで、aの値が求まりました。

a = 2 であることがわかったので、最終的な二次関数の式は次のようになります。

y = 2(x – 1)² – 6 です。この式が、頂点(1, -6)で、点(3, 2)を通る放物線の二次関数です。

この問題を解くためには、頂点形式を使って放物線の式を立て、与えられた点を使ってaの値を求める方法が有効です。具体的な計算手順を踏むことで、簡単に二次関数を求めることができました。