高校数学の文字と式 – (a-b)(b-c)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a) の理解

高校数学でよく出てくる式の一つに、(a-b)(b-c)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a) があります。この式は、符号をどう扱うかを理解するための良い練習問題となります。この記事では、この式の意味と、なぜ(c-a)のみの符号が変わるのかについてわかりやすく解説します。

問題の式を理解する

まず、式 (a-b)(b-c)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a) を見てみましょう。この式は、一見するとどのように符号が変わるのかが難しいように感じられるかもしれませんが、実は式の性質を理解することで簡単に解けます。

式の右辺には、(a-b)(b-c)(c-a) と同じ項が出現していますが、その前にマイナス符号がついています。マイナスがどのように影響を与えるのかがポイントです。

式の左辺と右辺はほぼ同じ形ですが、右辺にマイナス符号がついています。ここで重要なのは、(c-a)の部分にのみ符号の変化が起きるという点です。

まず、(a-b)(b-c)(a-c) の式を展開すると、それぞれの項の符号は次のようになります。

(a-b) はそのまま、(b-c) はそのままですが、(a-c) の符号がマイナスになります。なぜなら、(a-c) を (c-a) に変えた場合、その順番を逆にしただけで符号が逆転するからです。この変化によって、式全体が符号の変更を反映します。

このように、(a-b)(b-c)(a-c) という式で、(a-c) の項が符号逆転する理由は、(c-a) と (a-c) が基本的に逆の順番の項だからです。数式における項の順番は、掛け算の交換法則に基づいて、順番を変えると符号が反転します。

そのため、式全体の符号の違いは、(a-b)(b-c)(a-c) と (a-b)(b-c)(c-a) の交換によって生じる符号の反転に起因します。つまり、(c-a) を (a-c) に変えた際に符号が逆転することによって、式全体がマイナス符号を持つようになるのです。

式 (a-b)(b-c)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a) の理解には、符号がどのように変化するかを追うことが大切です。特に、(a-c) と (c-a) が逆順であるため、符号が反転することに注目すると、この式が成り立つ理由が明確になります。

この問題を通して、数学的な符号の扱い方や、順番を変えることで式の結果がどう変わるのかを理解することができます。数学の基本的な法則をしっかりと理解することで、より高度な問題にも対応できるようになります。