なぜsin²θ + cos²θ = 1は(1 – cos²θ) – cosθになるのか？

高校数学でよく使われる恒等式「sin²θ + cos²θ = 1」は、三角関数の基本的な性質の一つです。しかし、なぜこの式が「(1 – cos²θ) – cosθ」に変形できるのか、疑問に思ったことがある方も多いでしょう。この記事では、その理由と変形方法をわかりやすく解説します。

sin²θ + cos²θ = 1 の理解

まず最初に、三角関数の基本的な恒等式「sin²θ + cos²θ = 1」を確認しましょう。この式は、直角三角形の辺の長さから導かれるもので、三角関数の基本的な関係式です。簡単に言うと、この式は円の方程式（単位円）に由来します。

単位円上の任意の点(x, y)に対して、x² + y² = 1となることが知られています。ここで、x = cosθ、y = sinθ とおくと、cos²θ + sin²θ = 1という式が得られるのです。

(1 – cos²θ) – cosθ への変形方法

次に、質問にある「(1 – cos²θ) – cosθ」という形に変形する理由を解説します。

まず、元の式sin²θ + cos²θ = 1から、sin²θを(1 – cos²θ)という形に書き換えることができます。これは、sin²θ = 1 – cos²θという基本的な三角恒等式に基づいています。

したがって、元の式「sin²θ + cos²θ = 1」を「(1 – cos²θ) + cos²θ = 1」と書き換えることができ、同じ結果を得られます。

なぜさらに – cosθ を加えるのか？

この変形が「(1 – cos²θ) – cosθ」にどのように繋がるのかというと、実際には「-cosθ」という項を足すことで、式の形を変更しているわけではなく、数式操作の途中で余分な項を引いたり足したりすることがあります。

実際の数式変形でこの操作が必要になる場合、-cosθはあくまで式を整理するために加える項であり、具体的な状況に応じてその意図や意味を明確にする必要があります。問題を解く上での一環として、意図的にその形に整えていく作業です。

具体的な例で確認する

たとえば、θ = 45°の場合、cos(45°) = √2/2です。この値を元の式に代入して、(1 – cos²(45°)) – cos(45°) を計算すると、意図する結果が得られることが確認できます。数式を代入し、確認してみることで、変形がどのように適用されるか理解しやすくなります。

まとめ

「sin²θ + cos²θ = 1」が「(1 – cos²θ) – cosθ」に変形できる理由について、三角関数の基本的な性質を踏まえて解説しました。sin²θとcos²θの関係を理解し、式を変形する際にどのように数式が整理されるのかを確認しました。この理解が深まることで、他の三角関数の問題にも対応できるようになります。