等比数列の和を求める問題は、数学Bの重要なテーマの一つです。この問題では、等比数列の初項から第n項までの和を求める方法について解説します。実際の問題を使って、どのように解くのかを順を追って説明していきます。
等比数列の基本概念
等比数列とは、隣り合う項の比が一定である数列です。この比を「公比（r）」と呼びます。一般的な等比数列の項は次のように表されます。
a₁, a₁r, a₁r², a₁r³, …
ここで、a₁は初項、rは公比です。等比数列の和を求める式は、次のように表されます。
Sₙ = a₁ × (1 - rⁿ) / (1 - r) （ただし、r ≠ 1）
この式を使って、与えられた等比数列の和を求めることができます。
問題(1) 1, -2, 4, -8, … の和を求める
この問題では、初項a₁ = 1、公比r = -2の等比数列が与えられています。まず、問題で求められているのは、この数列の初項から第n項までの和です。
与えられた数列の公比rは-2で、初項a₁は1です。したがって、n項目までの和は次の式を使って求めます。
Sₙ = 1 × (1 - (-2)ⁿ) / (1 - (-2))
ここで、分母が1 – (-2) = 3になるため、最終的な式は次のようになります。
Sₙ = (1 - (-2)ⁿ) / 3
これで、任意のnに対する和を求めることができます。
問題(2) 9, 0.9, 0.09, 0.009, … の和を求める
次に、初項a₁ = 9、公比r = 0.1の等比数列について考えます。こちらも初項から第n項までの和を求めます。
この数列の場合、n項目までの和は次の式を使って求めます。
Sₙ = 9 × (1 - 0.1ⁿ) / (1 - 0.1)
分母が1 – 0.1 = 0.9であるため、最終的な式は次のようになります。
Sₙ = (9 × (1 - 0.1ⁿ)) / 0.9
これにより、任意のnに対する和を計算できます。
まとめ
等比数列の和を求めるには、初項と公比を理解した上で、与えられた数列に対して適切な和の公式を適用することが重要です。問題(1)では、公比が負の数であるため符号が交互に変わる特徴がありますが、公式を使えば簡単に和を求めることができます。また、問題(2)では、公比が0.1と小さいため、和が収束する様子を確認できることが特徴です。これらの公式を使いこなすことで、等比数列に関する問題は効率よく解くことができます。
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