数学IIの問題で「AB² + BC² + CA² = 3(GA² + GB² + GC²)」という式を座標を使って証明する方法を解説します。この式は、点A, B, Cとその重心Gを利用した幾何学的な性質を表しています。ベクトルや図形を使わずに座標を使った方法で証明することができます。この記事では、その具体的な手順をわかりやすく説明します。
問題の理解と座標系の設定
まず、与えられた式は、三角形ABCの3つの頂点A, B, Cとその重心Gに関連しています。式の両辺には、それぞれ頂点間の距離の2乗の和が含まれています。座標を使ってこの式を証明するために、まず各点の座標を設定します。
座標系において、任意の点A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)を設定し、重心Gの座標を求めます。重心Gは、三角形の各頂点の座標の平均として定義されます。
G(xg, yg) = ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3)
距離の2乗を計算する
次に、AB² + BC² + CA²とGA² + GB² + GC²をそれぞれ計算します。まず、2点間の距離の2乗は次の式で表されます。
d² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²
これを利用して、AB², BC², CA², GA², GB², GC²をそれぞれ計算します。例えば、AB²は次のように求められます。
AB² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²
同様にして、BC², CA², GA², GB², GC²を計算します。
式の変形と証明
各距離の2乗を計算した後、それぞれの式を組み合わせて、最終的に証明すべき式AB² + BC² + CA² = 3(GA² + GB² + GC²)に到達します。この時、座標を代入していくことで、式の左辺と右辺が等しいことを示すことができます。
証明のポイントは、各距離の2乗の和を整理し、重心Gの座標の特性を利用することです。この方法で、与えられた式が成り立つことを示すことができます。
まとめ
「AB² + BC² + CA² = 3(GA² + GB² + GC²)」の式を座標を使って証明する方法は、座標系を設定し、距離の2乗を計算し、それを組み合わせることで進めます。重心Gの座標を用いることで、式の両辺が等しいことを示すことができ、問題を解くことができます。この方法を理解することで、幾何学的な問題を座標を使って効果的に解決できるようになります。
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