(√3+3・i)⁵ の解法と展開方法

高校数学で出てくる複雑な式の展開方法を解説します。今回は、(√3+3・i)⁵ という式を展開して、答えが 144√3 – 432・i になることを示します。まずは、式の理解から始め、展開方法を順を追って説明します。

複素数の基礎

式 (√3 + 3・i)⁵ は複素数を含む式です。複素数とは、実数部分と虚数部分から成る数で、i は虚数単位（i² = -1）を意味します。ここでは、(√3 + 3・i) という複素数を 5乗する問題です。

まず、複素数の 5乗を求めるためには、複素数の乗法を使います。複素数のべき乗を求める一般的な方法として、モードと偏角を使う方法（極形式で計算）があります。この方法を使って展開を簡単に行います。

式を極形式で表現すると、r (cosθ + i sinθ) の形になります。まず、(√3 + 3・i) を極形式に変換し、それを 5乗します。

(√3 + 3・i) の絶対値 r は、√(√3² + 3²) となり、計算すると r = 2√3 になります。

次に、偏角 θ は、tanθ = 3/√3 であり、θ = 60°（またはπ/3）です。したがって、(√3 + 3・i) は 2√3 (cos 60° + i sin 60°) という形になります。

次に、これを 5乗します。複素数の 5乗を計算するには、モードと偏角をそれぞれ 5倍する方法を使います。

したがって、(2√3)⁵ (cos 5×60° + i sin 5×60°) = 144√3 (cos 300° + i sin 300°) となります。

ここから、実数部分と虚数部分をそれぞれ計算し、最終的に 144√3 – 432・i が得られます。

(√3 + 3・i)⁵ の展開は、極形式を使って計算することで簡単に求めることができます。複素数の乗法におけるモードと偏角を利用することで、効率よく答えを導くことができます。この方法を使えば、複素数のべき乗を扱う問題に素早く対応できます。