この問題では、座標平面上にある直角三角形PQRが与えられ、点P、Q、Rがそれぞれ特定の条件を満たしている中で、点Pと点Rが移動することにより、∠QOPが一定であることを示す問題です。具体的には、点Pはx軸上を正の方向に、点Rはy軸上の正の部分から原点に向かって移動します。このとき、∠QOPが常に一定であることを証明します。
直角三角形PQRの初期条件
最初の状況として、点Pは原点(0, 0)にあり、点Qは第一象限にあります。また、点Rはy軸上の正の部分にあり、与えられた条件としてPR=2、RQ=1、∠Q=90°です。この設定により、PQRは直角三角形であり、特に∠Qが直角であることがわかります。
また、点Pと点Rはそれぞれ異なる軸に沿って移動します。点Pはx軸上で正の方向に、点Rはy軸上で正の方向から原点に向かって移動します。
点Pと点Rの座標の変化
点Pの座標は(x, 0)であり、点Rの座標は(0, y)です。問題の条件に従い、点Pはx軸上を正の方向に、点Rはy軸上を原点に向かって移動します。
点Pがx=2に到達したとき、点Rは原点に到達します。このとき、点Pの座標は(2, 0)となり、点Rは(0, 0)となります。
∠QOPの一定性の証明
この問題で求めるのは、点Pと点Rが移動する過程で∠QOPが常に一定であることです。まず、三角形PQRが直角三角形であるため、点Qが直角であることを利用します。
次に、点Pがx軸上を移動し、点Rがy軸上を移動するとき、∠QOPは定点Qからの角度であることを確認します。これは三角形PQRの特性によるもので、点Pと点Rの移動に関わらず、∠QOPが変化しない理由です。
証明の理論的背景
∠QOPが一定である理由は、三角形の幾何学的特性にあります。点Pと点Rの座標が変わっても、点Qから見た角度は変わりません。これを説明するために、三角形PQRが直角三角形であることが重要です。
この問題では、直角三角形の性質を利用して、点Pと点Rの移動が∠QOPの大きさに影響を与えないことを示しています。点Pと点Rが移動しても、∠QOPは一定の角度を保ち続けます。
まとめ：∠QOPの一定性
点Pと点Rの座標が変化する過程において、∠QOPは常に一定であることが証明されました。これは三角形PQRの直角性と点Qから見た角度の特性によるものです。点Pと点Rの移動は∠QOPに影響を与えないため、問題における求める条件を満たしています。
このように、幾何学的な証明を通じて、与えられた条件のもとで∠QOPが一定であることを理解することができました。
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