中学数学の方程式でよく出てくる問題の一つに、二乗を含んだ方程式があります。今回は、1/3(x-1)² = (1/3x)² という方程式の解法について詳しく解説します。このタイプの問題を解くためには、まず式を整理してから計算を進めることが大切です。
方程式の展開と整理
まず、与えられた方程式を展開してみましょう。式は以下のようになっています。
1/3(x-1)² = (1/3x)²
この方程式を解くためには、両辺を展開し、それぞれの項を整理することが必要です。
まず、左辺の (x-1)² を展開します。これを展開すると。
(x – 1)² = x² – 2x + 1
これを1/3倍すると。
1/3(x – 1)² = 1/3(x² – 2x + 1) = 1/3x² – 2/3x + 1/3
右辺の展開
次に、右辺の (1/3x)² を展開します。
(1/3x)² = (1/3)² * x² = 1/9x²
よって、元の方程式は次のように変形されます。
1/3x² – 2/3x + 1/3 = 1/9x²
方程式の整理と移項
次に、この方程式を解くために両辺を整理していきます。まず、1/3x² と 1/9x² を比較するために、両辺を通分しましょう。
1/3x² を 1/9x² と同じ分母にするために、1/3x² を 3/9x² に変換します。すると、方程式は次のようになります。
3/9x² – 2/3x + 1/3 = 1/9x²
この式から、両辺にある 1/9x² を取り除くために、1/9x² を両辺から引きます。すると。
3/9x² – 1/9x² – 2/3x + 1/3 = 0
これをさらに整理すると。
2/9x² – 2/3x + 1/3 = 0
最終的な解法
ここで、方程式を解くために、すべての項を 9 で掛けて分母を取り除きます。すると。
2x² – 6x + 3 = 0
この二次方程式を解くために、解の公式を使います。解の公式は。
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
ここで、a = 2、b = -6、c = 3 ですので、代入すると。
x = (-(-6) ± √((-6)² – 4(2)(3))) / (2(2))
これを計算すると。
x = (6 ± √(36 – 24)) / 4 = (6 ± √12) / 4
x = (6 ± 2√3) / 4
よって、x の解は。
x = (3 ± √3) / 2
まとめ
このようにして、1/3(x-1)² = (1/3x)² という方程式を解くことができました。まずは展開して整理し、次に移項や通分を使って計算を進めることがポイントです。解の公式を使うことで、最終的な解を求めることができます。数学の方程式では、基本的な手順を守って計算を進めることが大切です。
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