恒等式とは、数学において、式の両辺が常に等しいことが成り立つ式のことです。今回は恒等式がどういうものか、そして他の様々な例について解説します。
恒等式とは？
恒等式は、ある式を変形して、両辺が常に等しいことが成立するものです。例えば、単純な数式や関数において、両辺を計算しても値が変わらない場合、それは恒等式です。
「x + 2 = 5 + x」のような式も恒等式の一例です。この場合、xの値が何であっても両辺が等しくなるため、恒等式と呼ばれます。
恒等式の具体例
以下にいくつかの典型的な恒等式を紹介します。
- 分配法則: a(b + c) = ab + ac
- 加法の交換法則: a + b = b + a
- 加法の結合法則: (a + b) + c = a + (b + c)
- 二項定理: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
- 三角関数の恒等式: sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
「一つの式を変形したもの」と「他の恒等式」の違い
質問にあった「恒等式はある一つの式を変形したものを両辺に持つものなのか？」という点ですが、恒等式は単一の式の変形にとどまらず、他にもさまざまな方法で成り立つものです。変形の過程が同じであれば、恒等式の形が変わることもあります。
例えば、a(b + c) = ab + ac という式は、両辺を分けて計算しているわけですが、これも恒等式の一例です。式を変形したものが必ずしも唯一の恒等式ではなく、他にも多くの恒等式があります。
まとめ
恒等式は、両辺が常に等しいことが成立する式のことです。一つの式の変形や他の式との関係を使って多くの恒等式を導き出すことができます。様々な数学の法則や定理も恒等式の一部として利用されることが多いため、数学の学習において非常に重要な概念です。
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