正方形と三角形の共通部分の面積：高校数学の問題解説

高校数学において、座標平面上で動点が関わる問題は非常に興味深いものです。特に、長方形と三角形の共通部分の面積を求める問題は、座標平面の理解を深めるために重要です。この記事では、与えられた座標平面上で、動点P、Q、Rの位置に応じて正方形OABCと三角形PQRの共通部分の面積を求める方法を解説します。

問題の整理と理解

まず、問題の条件を整理しましょう。座標平面上に点A(4,0), B(4,4), C(0,4), M(2,0), N(2,4)があり、動点P(a,b), Q(a+4,b-2), R(a+4,b+2)が与えられています。点Pは長方形OMNCの周上を、O→M→N→Cの順に、毎秒1の速さで動きます。

このとき、点Pが出発してt秒後における、正方形OABCと△PQRの共通部分の面積S(t)を求める問題です。特に、0 ≦ t ≦ 8の範囲で2 ≦ t ≦ 3の間のS(t)を求めます。

点Pは長方形OMNCの周上を、O→M→N→Cの順に動きます。ここで、OMNCの長方形の各辺の長さを確認します。O(0,0)からM(2,0)、MからN(2,4)、NからC(0,4)、CからOまでの辺の長さがそれぞれ2単位となっています。

点Pが長方形OMNCの周上を動くため、点Pの座標(a,b)は、t秒後にOからCまで移動している点の位置になります。点Pの位置はtに比例して動きます。

動点Pに対応して、点QとRの位置も決まります。点Qは点Pを基準に、a+4, b-2となり、点Rはa+4, b+2となります。このように、△PQRは点Pを基準に、QとRが一定の位置に決まっています。

点Pが動くことで、△PQRの形と大きさも変わります。特に、PがOからM、MからN、NからCに向かって動く間に、△PQRがどのように変化するかを考える必要があります。

t ≧ 2のとき、点Pは長方形OMNCの辺を動きながら、正方形OABCとの交点を通過します。この範囲で、△PQRとOABCの共通部分の面積S(t)を求めるためには、P、Q、Rの位置を座標に基づいて計算し、共通部分の面積を求める必要があります。

具体的には、t = 2のとき点PはOからMにかけて移動しています。t = 3では点PがMからNにかけて移動しています。この時点で、△PQRがOABCとどのように重なるかを計算する必要があります。

共通部分の面積S(t)を求めるためには、まず△PQRの面積を求め、次に正方形OABCとの交点を確認します。交差部分の形状を計算して、その面積を求めます。

この場合、△PQRがOABCと重なる部分の面積は、P、Q、Rの座標に基づいて三角形の面積を計算することで求めることができます。S(t)は時間tに応じて変動するため、t = 2からt = 3の範囲でどのように変化するかを確認します。

今回の問題では、動点Pが長方形OMNCの周上を移動することによって、正方形OABCと△PQRの共通部分の面積S(t)が時間tに応じて変化する様子を求めました。t = 2からt = 3の範囲で、PQRとOABCの交点を計算し、面積を求める方法が重要でした。

このような問題は、座標平面の理解を深め、三角形や長方形、正方形の面積を計算する力を養うための良い練習になります。動点の位置とその関係性を正確に計算することがポイントです。