確率変数の独立性と条件付き確率｜カードの例を使った理解

確率変数の独立性については、最初に理解するのが難しいことがあります。特に、条件が少し変わると独立性が崩れるのではないかと混乱することもあります。本記事では、赤と白のカードを使った確率変数の例をもとに、独立性の定義や計算方法、条件の変更が独立性に与える影響について詳しく解説します。

確率変数と独立性の基本

まず、確率変数XとYが独立であるとは、次の式が成り立つ場合です。

P(X＝i、Y＝j) = P(X＝i)P(Y＝j)

つまり、Xの値が何であれYの値に影響を与えず、Yの値が何であれXの値に影響を与えないという意味です。これを確認するために、赤と白のカードの例を見ていきます。

問題において、カードには2種類の色（赤と白）と2種類の文字（アとイ）が書かれています。カードが4枚ある場合、それぞれのカードに対応する確率変数X（赤＝1、白＝2）とY（ア＝1、イ＝2）を考えます。

試行でカードを1枚選ぶとき、XとYが独立であるかを確認するためには、P(X＝i、Y＝j)とP(X＝i)P(Y＝j)が一致するかを調べます。最初の状況では、P(X＝i)P(Y＝j)とP(X＝i、Y＝j)が一致するので、XとYは独立だと言えます。

次に、「白ア」のカードを「白イ」に変更した場合について考えます。変化後、P(X＝1、Y＝2)＝1/4、P(X＝1)P(Y＝2)＝3/8となります。この場合、P(X＝1、Y＝2)とP(X＝1)P(Y＝2)が一致しなくなり、XとYは独立ではなくなります。

ここで重要なのは、カードを変えることで確率が変化し、それにより独立性が崩れることです。つまり、カードの構成を変えることで、XとYがもともと独立であった場合でも、独立性が失われる可能性があるのです。

質問者が考えたように、カードを変える前後で独立性が変わることがあるのです。カードの変更前にP(X＝i、Y＝j)＝P(X＝i)P(Y＝j)が成り立っていたのは、たまたまその状況での確率の分布が一致していただけで、元々XとYが完全に独立であったわけではない可能性があります。

確率変数が独立かどうかを判定するには、常に確率を計算し、条件が一致するかを確認する必要があります。カードを変えることで独立性が崩れることがあるため、その点を注意深く確認することが大切です。

確率変数が独立であるかどうかを確認する際には、P(X＝i、Y＝j)とP(X＝i)P(Y＝j)が一致するかを計算することが基本です。カードの変更が独立性に影響を与える場合があるため、変更前後で独立性が保たれているかどうかをチェックすることが重要です。

最後に、確率変数が独立かどうかはその確率の分布に依存しており、単に直感に頼るのではなく、実際に計算して確認することが確実です。これにより、確率変数の独立性をより深く理解し、問題に対して適切なアプローチができるようになるでしょう。