t = x + 1/x のとき、tが2以上ならx > 0 である理由

高校数学の問題では、関数の性質や不等式を扱うことが多いですが、特に相加相乗平均の不等式に関連した問題はよく出題されます。この記事では、t = x + 1/x（x > 0）のとき、tが2以上ならばx > 0 である理由について詳しく解説します。

t = x + 1/x の関数の性質

まず、t = x + 1/x という関数を見てみましょう。この関数は、xが正の数であるときに定義されます。具体的に言うと、x > 0 の場合、tはxとその逆数の和です。

この関数の重要な点は、xの値に依存してtの値がどう変化するかということです。xが1のとき、t = 1 + 1/1 = 2になります。これが最小値です。つまり、tの値はx > 0 の範囲で常に2以上となることがわかります。

相加相乗平均不等式（AM-GM不等式）を用いると、t = x + 1/x の最小値が2であることが示せます。AM-GM不等式は、任意の正の数a, bに対して、次のように成り立ちます。

(a + b) / 2 ≥ √(ab) です。ここでa = x, b = 1/x を適用すると、次の不等式が得られます。

(x + 1/x) / 2 ≥ √(x * 1/x) = 1

これを整理すると、x + 1/x ≥ 2 という不等式が得られます。つまり、t = x + 1/x は常に2以上であり、xが1のときに最小値2を取ります。

次に、tが2以上であればxが正である理由を考えます。t = x + 1/x が2以上であるとき、この不等式は次のように表せます。

x + 1/x ≥ 2

この不等式が成り立つためには、xが正の値である必要があります。もしxが負の値であれば、x + 1/x の値は2未満になる可能性があるため、この不等式は成立しません。

また、x = 0の場合、tは定義されないため、xは必ず0より大きい必要があります。したがって、tが2以上であるためには、x > 0であることが自明に言えます。

t = x + 1/x の関数では、x > 0 のときにtは常に2以上となります。このことは、相加相乗平均不等式を利用することで簡単に証明できます。さらに、tが2以上であるならばx > 0 であることも、定義と不等式を使って論理的に示すことができます。

このように、関数の性質や不等式を利用することで、xの値に対するtの挙動を正確に理解することができます。