三角形ABCの角Aの大きさを求める方法: 解法と間違いの原因

この問題では、三角形ABCの角Aの大きさを求める方法を解説します。問題に取り組む中で間違いが生じることがありますが、どのように正しい方法で解くかを詳しく説明します。

問題の整理と理解

問題文では、三角形ABCの辺AB=5, BC=7, CA=3が与えられています。また、角Aの二等分線が辺BCと交わる点Dが与えられています。この条件をもとに、角Aの大きさを求める問題です。

質問者は、面積を求めるためにヘロンの公式を使って解いていますが、この方法は少し誤りがあります。正しい解法を理解するために、まず問題の基本的な部分を整理しましょう。

ヘロンの公式は、三角形の面積を求めるための公式で、辺の長さが分かっていれば面積を求めることができます。しかし、この公式を使う際には、角度を求めることはできません。角度を求めるには、三角関数や余弦定理を使う必要があります。

質問者が行ったように、「1/2×5×3×sinA = 面積」として角度を求める方法は誤りです。面積を求める式に角度を含めるのは、定義が異なるためです。

角Aの大きさを求めるためには、余弦定理を使用するのが最も簡単で適切な方法です。余弦定理は次の式で表されます。

cosA = (b² + c² – a²) / 2bc

ここで、a, b, cは三角形の辺の長さです。三角形ABCの場合、a = 7, b = 3, c = 5です。これを余弦定理に代入して、角Aのcosを求め、逆三角関数で角度を求めます。

1. 余弦定理に辺の長さを代入。

cosA = (7² + 5² – 3²) / (2 × 7 × 5) = (49 + 25 – 9) / 70 = 65 / 70 = 0.9286

2. 逆余弦関数で角度Aを求める。

A = cos⁻¹(0.9286) ≈ 22.6°

この問題では、ヘロンの公式を使用するのではなく、余弦定理を使って角度を求めることが重要です。数学の問題を解く際には、公式や定理の使い方を正確に理解し、問題に適した方法を選ぶことが大切です。今後、似たような問題に取り組む際にも、余弦定理や三角関数をうまく活用しましょう。