gcd(a.b.c) と gcd(gcd(a.b), gcd(a.c)) の関係

この問題では、自然数 a, b, c に対して次の等式が成立するかどうかを調べます。

gcd(a.b.c) = gcd(gcd(a.b), gcd(a.c))

ここで、gcd は最大公約数を意味します。この式が成立するかどうかを確認するために、数学的な定義に基づいて考察していきます。

gcd の定義と性質

まず、gcd の基本的な性質について簡単に復習します。gcd(a, b) は、a と b の最大公約数を示します。つまり、a と b の共通の約数のうち、最も大きいものです。

gcd の重要な性質の一つは、分配法則です。具体的には、gcd(a, b, c) は gcd(gcd(a, b), c) と等しいことがわかります。この性質を利用して、今回の式が成立するかを検証できます。

gcd(a, b, c) を計算する際、まず a と b の最大公約数 gcd(a, b) を求めます。その後、その結果と c の最大公約数 gcd(gcd(a, b), c) を求めることになります。これにより、a, b, c の間の共通の約数を見つけることができます。

gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c) の定理により、gcd(a, b, c) は gcd(gcd(a, b), gcd(a, c)) と等しいことがわかります。つまり、gcd(a.b.c) と gcd(gcd(a.b), gcd(a.c)) は同じ値になります。

この等式は一般に成立します。反例を見つけることはできません。gcd は分配法則に従うため、gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), gcd(a, c)) は常に成立します。

gcd(a, b, c) と gcd(gcd(a, b), gcd(a, c)) は常に等しいことが証明されました。この結果は gcd の分配法則に基づいており、反例は存在しません。したがって、与えられた式は必ず成り立ちます。