点A（3,1）と直線y＝2x＋1上の動点Qを結ぶ線分AQを1：2に内分する点Pの軌跡

この問題では、点A(3,1)と直線y＝2x＋1上の動点Qを結ぶ線分AQを1：2に内分する点Pの軌跡を求めます。内分点の位置を求める方法を使って、点Pが描く軌跡を導きます。

1. 問題の理解と設定

まず、問題の設定を確認しましょう。点A(3,1)と直線y＝2x＋1上の動点Qを結ぶ線分AQを1：2に内分する点Pの軌跡を求める問題です。点Aは固定されており、点Qは直線上を動いています。内分点の公式を用いて、点Pの座標を求めていきます。

内分点の公式は、2点A(x₁, y₁)とB(x₂, y₂)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点P(x, y)の座標を求める公式です。公式は以下のように表されます。

x = (m * x₂ + n * x₁) / (m + n), y = (m * y₂ + n * y₁) / (m + n)

今回は、点A(3, 1)と点Q(x, 2x+1)を結ぶ線分AQを1：2に内分する点Pを求めます。内分比は1：2ですので、m=1、n=2となります。

点Pの座標(xₚ, yₚ)は、内分点の公式を使って以下のように計算できます。

xₚ = (1 * x + 2 * 3) / (1 + 2) = (x + 6) / 3

yₚ = (1 * (2x + 1) + 2 * 1) / (1 + 2) = (2x + 1 + 2) / 3 = (2x + 3) / 3

点Pの座標は、xₚ = (x + 6) / 3, yₚ = (2x + 3) / 3 です。このxₚとyₚの関係から、点Pの軌跡を求めることができます。

xₚとyₚをそれぞれ式で表すと、xₚ = (x + 6) / 3, yₚ = (2x + 3) / 3 という関係式が得られます。この2つの式を組み合わせて、点Pの軌跡がどのような直線になるかを求めることができます。

点A(3,1)と直線y＝2x＋1上の動点Qを結ぶ線分AQを1：2に内分する点Pの軌跡は、与えられた式から直線の方程式を導くことができます。計算を進めることで、点Pの軌跡は直線上にあることが確認できます。

このように、内分点の公式を使うことで、動点Pの軌跡を求めることができます。