高校数学：三角関数の最大値・最小値を求める方法の解説

三角関数の最大値と最小値を求める問題は、数学の基本的な技法を理解するために非常に重要です。特に関数の合成を使って解法を進める方法には、非常に大きな意味があります。この記事では、高校数学の問題、特に三角関数の最大値と最小値を求める問題を解説し、なぜ合成を使う必要があるのかを説明します。

1. 問題の確認

問題は、関数 f(x) = √3 * cos(x) + sin(x) の最大値と最小値を求めるものです。指定された範囲は π/4 ≦ x ≦ 5π/6 です。このような問題では、通常、定義域の端点に関数の値を代入することで最大値と最小値を求めることができます。しかし、なぜこの場合に「合成」を使う必要があるのでしょうか。

2. 関数の合成とは

三角関数の合成とは、異なる三角関数をひとつの関数にまとめる方法です。例えば、cos(x) と sin(x) の線形結合を一つの三角関数の形にすることで、解析が簡単になります。f(x) = √3 * cos(x) + sin(x) のような関数を一度合成すると、最大値や最小値を求める際に扱いやすくなります。

この合成を行うことで、関数を一般的な形に変換することができ、計算が簡単になり、正確な最大値・最小値を求めやすくなります。

3. 合成を行う理由

合成を行う理由は、単純に式をより簡単な形に変換するためです。例えば、f(x) = √3 * cos(x) + sin(x) は、√3 と 1 の係数を持つ三角関数の和です。この和を合成すると、例えば R * cos(x – θ) のような形になります。

こうすることで、最大値と最小値が R という定数に依存することがわかります。この定数 R は、√3 と 1 の値から計算できます。この合成によって、最小値と最大値を容易に求めることができます。

4. グラフの描画と理解の助け

合成後の関数を理解する上で、グラフを描くことが有効です。合成した関数 R * cos(x – θ) のグラフは、x の範囲でどのように振動するかを視覚的に示してくれます。このグラフから、最大値と最小値の位置を直接確認することができ、問題解決が一層スムーズになります。

5. 最大値・最小値の計算方法

合成後の関数 f(x) = R * cos(x – θ) の最大値は R、最小値は -R となります。ここで R = √(√3² + 1²) = 2 ですので、最大値は 2、最小値は -2 となります。

これを元の関数に戻すことで、最大値と最小値が π/4 ≦ x ≦ 5π/6 の範囲内でどのように実現するかを計算することができます。

6. まとめと結論

関数 f(x) = √3 * cos(x) + sin(x) の最大値と最小値を求める際に、合成を使うことで計算が簡単になり、正確に最大値と最小値を求めることができることがわかりました。合成を行うことによって、問題が視覚的にも計算的にも簡単に解けるため、数学の問題を解く際には非常に有用な方法です。