積分 ∫(0→π/2)√(1-cos(x))dx の計算方法について、過程と解答を詳しく解説します。問題の答えとして「2√2−2」が与えられていますが、これが正しいのか、それとも「−2√2−2」なのかといった疑問を解決します。この記事では、積分の計算過程を一つ一つ説明し、どのように答えにたどり着くのかを明確にします。
問題の整理と積分式の確認
まず、問題の積分式を確認します。式は次の通りです。
∫(0→π/2)√(1−cos(x))dx
この式を計算するためには、√(1−cos(x))という部分を変形して計算しやすくする必要があります。
1. 変形：三重角の公式を使う
√(1−cos(x))をそのまま計算するのは難しいため、三重角の公式を使って式を変形します。
1−cos(x)を次のように変形できます。
1 − cos(x) = 2sin²(x/2)
これにより、積分式は次のようになります。
∫(0→π/2)√(2sin²(x/2))dx = √2 ∫(0→π/2)sin(x/2)dx
これで、積分の形が簡単になりました。
2. 積分の計算
次に、積分を計算します。積分の式は次の通りです。
√2 ∫(0→π/2)sin(x/2)dx
この積分は、sin(x/2)の積分を解くことで求められます。積分を実行すると。
√2 × [-2cos(x/2)](0→π/2)
これを計算すると。
√2 × [-2cos(π/4) + 2cos(0)]
cos(π/4) = 1/√2、cos(0) = 1 ですので、結果は。
√2 × [-2 × (1/√2) + 2] = √2 × [-√2 + 2]
3. 最終的な答え
これを計算すると、最終的に。
2 − 2√2
となり、答えは「2√2−2」です。従って、疑問にある「−2√2−2」は誤りで、正しい答えは「2√2−2」になります。
まとめ：積分の計算過程
今回の積分問題では、三重角の公式を使って式を変形し、積分を解いていきました。最終的に、正しい答えは「2√2−2」であり、過程をしっかり追うことで答えを導き出せました。
積分の計算は、問題を段階的に整理していくことが重要です。今回の問題も、公式や簡単な変形を用いることで解くことができました。
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