この問題では、連続する3つの自然数が与えられ、それぞれの二乗の和からその数を引いた結果が170になるというものです。解くためには式を立てて、代数を用いて解く方法が有効です。この記事では、この問題の解法を解説します。
問題の整理
問題文では、連続する自然数をx-1, x, x+1と定義して、それらの二乗の和から元の数を引くと170になるという条件が与えられています。まず、この条件を式に直す必要があります。
式を立てる
連続する3つの自然数をx-1, x, x+1と置くと、それぞれの二乗の和は次のように表せます。
(x-1)² + x² + (x+1)² です。
この式を展開すると、次のようになります。
(x² – 2x + 1) + x² + (x² + 2x + 1) = 3x² + 2
問題の条件に従い、「3x² + 2」から「x-1, x, x+1」の3つの数を引いた結果が170になるので、式は次のようになります。
3x² + 2 – (x-1 + x + x+1) = 170
方程式を解く
式を簡単にすると。
3x² + 2 – 3x = 170
次に、この式を整理して解きます。
3x² – 3x – 168 = 0
ここで、この2次方程式を解くためには、解の公式を使います。
x = [-(-3) ± √((-3)² – 4×3×(-168))] ÷ 2×3
計算すると、x = 12またはx = -14となります。
解の確認
x = 12の場合、連続する3つの自然数は11, 12, 13です。これらの二乗の和を求めると、次のようになります。
11² + 12² + 13² = 121 + 144 + 169 = 434
そして、元の数である11 + 12 + 13 = 36を引くと、434 – 36 = 170となります。従って、x = 12のとき、条件を満たすことが確認できます。
まとめ
この問題では、連続する3つの自然数を代数的に表現し、それぞれの二乗の和からその数を引くという条件を満たす自然数を求めました。最終的に解は11, 12, 13であることが確認できました。この問題を解くためには、式の展開と解の公式を使って解く方法が重要です。
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