実数x, yの問題：x² + y² = 2と2x + yの最大値・最小値を求める過程の解説

この問題では、実数x, yがx² + y² = 2を満たすとき、2x + yの最大値と最小値を求めることが求められています。解法の過程で判別式Dが0以上(D≧0)となることを利用して、なぜ共有点を持つと考えられるのかについても触れていきます。

問題の整理と最初の考え方

まず、与えられた条件x² + y² = 2は、平面上で原点を中心とする半径√2の円を表します。そして、t = 2x + yという直線の最小値と最大値を求めるために、円と直線の交点を求める必要があります。この交点が最小値と最大値を決定します。

ここで重要なのは、円と直線が共有点を持つということです。円と直線が交わる場合、交点の存在を確認するために判別式を用います。

共有点を持つというのは、円と直線が1点で交わる、または交わらないことを意味します。この場合、直線が円に接する点を持つことで、最大値または最小値を求めることができます。直線と円が交わる条件として、判別式Dが0以上であることを確認する必要があります。

具体的には、x² + y² = 2という円の方程式とt = 2x + yという直線の方程式を連立させ、その交点を求めます。その際、解が実数解を持つためには判別式が0以上である必要があります。この条件が満たされると、交点が1つ存在するため、最小値と最大値が確定します。

判別式Dが0以上である理由は、円と直線が交わるためには実数解が存在することが必要だからです。判別式Dが0の場合、直線は円に接しており、1点で交わります。Dが正の場合、直線は円と2点で交わります。Dが負の場合、直線と円は交わりません。

したがって、D≧0であることが、円と直線の交点が存在する条件であり、最大値と最小値を求めるためにはこの条件が必要です。

最終的に、x² + y² = 2という円とt = 2x + yという直線が共有点を持つことを確認し、その交点を求めることで、2x + yの最大値と最小値を求めることができます。この過程で判別式Dを利用し、D≧0となる条件を満たす交点を見つけることで解を得ることができました。

このように、問題の中で示された「共有点を持つ」という条件は、判別式を利用することで実数解が得られることを確認し、解法に繋がります。