動点Pの速度と加速度を求める方法 – 数直線上の動き

数学

今回の問題では、数直線上の動点Pの座標が時刻tの関数として与えられています。具体的には、x = e^(-πt)sinπt という関数で表される動点Pの速度と加速度を求める方法について解説します。時刻t=1における速度と加速度を求める問題を通じて、微分の基本的な考え方を再確認しましょう。

1. 問題の解説

与えられた関数x = e^(-πt)sinπtは、動点Pが数直線上を動く様子を表します。まず、この問題を解くためには速度と加速度の定義を理解することが重要です。速度は位置の時間微分であり、加速度は速度の時間微分です。

したがって、まずは位置x(t)の式を微分して速度v(t)を求め、さらにその速度を微分して加速度a(t)を求めます。ここでは、積の微分法則や指数関数、三角関数の微分を利用します。

2. 速度の求め方

速度v(t)は位置x(t)を時間tで微分することで求められます。x(t) = e^(-πt)sinπt ですので、積の微分法則を使って求めます。具体的な計算手順は次の通りです。

v(t) = d/dt [e^(-πt)sinπt] = e^(-πt) * d/dt[sinπt] + sinπt * d/dt[e^(-πt)]

これを計算すると、v(t) = e^(-πt) * πcosπt – πsinπt * e^(-πt) となります。

3. 加速度の求め方

次に、加速度a(t)は速度v(t)を時間tで微分することで求められます。v(t) = e^(-πt)(πcosπt – πsinπt) という式が得られたので、これを再度微分します。

a(t) = d/dt [e^(-πt)(πcosπt – πsinπt)]

この式を微分して加速度を求めると、a(t) = e^(-πt)(-2πcosπt – πsinπt) という式が得られます。

4. t=1における速度と加速度の計算

最後に、t = 1における速度v(1)と加速度a(1)を求めます。具体的には、t = 1を式に代入して、計算を行います。

v(1) = e^(-π) * πcosπ – πsinπ * e^(-π)

a(1) = e^(-π)(-2πcosπ – πsinπ)

計算を行うと、v(1)とa(1)の値が求まります。数値を代入して、最終的に答えを得ることができます。

5. まとめ

この問題では、動点Pの位置が与えられた関数に基づいて、速度と加速度を求める方法について解説しました。速度は位置の時間微分、加速度は速度の時間微分として求めることができます。微分の基本を理解し、積の微分法則や指数関数、三角関数の微分を使うことがポイントです。t=1における具体的な計算を通じて、解答に至る手順を確認できました。

コメント

タイトルとURLをコピーしました