高校数学：微分可能性を調べるための正しいアプローチ

高校数学で関数の微分可能性を調べる際に、lim_{h→0}の表現が使われる場面があります。しかし、微分可能性を確かめるためには、右側と左側の微分係数が等しくなることを示す必要があります。この記事では、この問題にどのようにアプローチするべきかについて詳しく解説します。

1. 微分可能性を調べる基本的なアプローチ

関数f(x)がx = aにおいて微分可能であるかどうかを調べるには、まずその点での導関数が存在するかを確かめる必要があります。微分可能性を確認するためには、定義に基づいて以下のリミットを計算します。

lim_{h→0} (f(a + h) – f(a)) / h

2. 左側と右側の微分係数が等しいことの重要性

問題でlim_{h→0} (f(a + h) – f(a)) / hという形を使う場合、このリミットが存在することが重要です。しかし、微分可能性を確かめるためには、左右の微分係数が一致する必要があります。つまり、f(x)がx = aにおいて微分可能であるためには、右側リミットと左側リミットの値が等しくなければなりません。

したがって、最初にlim_{h→0} (f(a + h) – f(a)) / hを書き出しても良いですが、その後に右側と左側のリミットが一致することを明示的に記述することが必要です。

3. -a < 0の場合の注意点

微分を計算する際に場合分けが必要な場合、特に関数がx = aにおいて異なる挙動を示すときがあります。この場合、右側の微分と左側の微分を別々に計算し、それぞれのリミットが一致するかどうかを確認することが重要です。

微分可能性を調べる際は、このような確認作業を行うことで、より正確に解を求めることができます。

4. まとめ

関数の微分可能性を調べる際には、lim_{h→0}を使った式に加えて、右側と左側の微分係数が等しいことを確認する必要があります。このプロセスを丁寧に進めることで、数学的な問題解決がより確実に行えるようになります。