指数対数の式を解く際、掛け算と引き算をどのように使い分けるかについての質問です。特に、logaM + logaN = loga(MN) や logaP = logaQ ⇔ P = Q の使い分けが難しいと感じる方に向けて、これらの使い方を解説します。
1. 掛け算の式の解法 (logaM + logaN = loga(MN))
指数対数の式 logaM + logaN = loga(MN) は、同じ底の対数が加算されている場合に使用されます。この式は、log(a)(M) + log(a)(N) = log(a)(M × N) という掛け算の法則に基づいています。例えば、log2(8) + log2(4) は log2(8 × 4) = log2(32) となります。
2. 引き算の式の解法 (logaP = logaQ ⇔ P = Q)
次に、引き算を使った式 logaP = logaQ ⇔ P = Q の解法です。この式は、同じ底の対数が等しい場合、対数の中身も等しいという法則です。例えば、log2(x) = log2(y) といった場合、x = y となります。
3. 質問の式の解法とその理由
質問の式 2log(M) + log(N) = log(P) を展開してみます。まず、式を log(M²) + log(N) = log(P) に書き換えます。この状態で、掛け算の法則 log(M²) + log(N) = log(M² × N) を適用し、結果として (M²) × N = P という式が得られます。
一方、log(M²) + log(N) - log(P) = 0 の場合は、引き算を使って {M² × N} / P = 1 という式を得ることができます。ここで重要なのは、掛け算と引き算の適切な使い分けです。
4. まとめ：掛け算と引き算の使い分け
指数対数の式を解く際には、掛け算の法則と引き算の法則を理解し、適切に使い分けることが大切です。加算の式では掛け算の法則を使用し、引き算の式では中身が等しいことを確認するために引き算を使うことが基本です。これを理解すれば、複雑な式も解きやすくなります。
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