数学の公式： (x-y)^3 + (y-z)^3 の展開とその理由

今回の質問は、高校1年生の数学に関するもので、(x-y)^3 + (y-z)^3 の式の展開に関するものです。この式をどのように展開するのか、その過程と理由を解説します。

1. (x-y)^3 + (y-z)^3 の展開方法

まず、この式を展開するためには、(x-y)^3 と (y-z)^3 の各項を展開する必要があります。最初の展開式は次のように進みます。

(x-y)^3 + (y-z)^3 = {(x-y) + (y-z)}{(x-y)^2 – (x-y)(y-z) + (y-z)^2}

これにより、2つの立方項を1つにまとめることができます。ここまでの展開方法は、基本的な因数分解の公式を利用した方法です。

次に、(x-y)^3 + (y-z)^3 を更に展開していくと、以下のような式が得られます。

(x-z){x^2 – 2xy + y^2 – (xy – xz – y^2 + yz) + y^2 – 2yz + z^2}

この式の中で、(x-z) とその他の項を掛け合わせていくと、最終的に以下のような結果になります。

一見、「(x-y)^3 + (y-z)^3 = (x-z) {(x-y)^2 – (x-y)(y-z) + (y-z)^2}」という途中の式でも十分に見えますが、この式では他の項を展開することでより簡単な形にすることができます。完全に展開する理由は、式の簡略化と数式の理解を深めるためです。

また、(x-z) の前後の項を計算することで、実際の数値問題において計算ミスを防ぐためにも、完全な展開が重要となります。

このように展開式を完全に解くことで、数式の深い理解が得られます。数学では式の展開や因数分解がしばしば登場し、基本的な考え方を身につけることが問題解決に役立ちます。特に(x-y)^3 + (y-z)^3 のような問題では、分解方法をしっかり理解することが大切です。

この問題を解く際の重要なポイントは、(x-y)^3 + (y-z)^3 の式を完全に展開する過程を理解し、その結果を使って数学的な問題を解決する方法を学ぶことです。途中で展開式を止めず、完全に解くことで数学的な基礎力を養うことができます。