与えられた2つの2次不等式
- x² – 2x – 8 < 0
- x² + (a – 3)x – 3a ≧ 0
を同時に満たす整数解がただ一つ存在するような定数aの範囲を求める問題を解説します。
1. 1つ目の不等式の解を求める
まず最初に解くべきは、x² – 2x – 8 < 0 です。この不等式は、まず方程式x² - 2x - 8 = 0を解き、その解を元に不等式の範囲を求めます。
x² – 2x – 8 = 0を解くと、解の公式を使って次のように計算できます。
- x = (-(-2) ± √((-2)² – 4(1)(-8))) / 2(1)
- x = (2 ± √(4 + 32)) / 2
- x = (2 ± √36) / 2
- x = (2 ± 6) / 2
この式から、x = 4 または x = -2 が得られます。したがって、不等式x² – 2x – 8 < 0の解は、x ∈ (-2, 4) となります。
2. 2つ目の不等式の解を求める
次に、2つ目の不等式 x² + (a – 3)x – 3a ≧ 0 について考えます。この不等式も解の公式を使用して、aに関する条件を求めることができます。
まず、この不等式を解くために、対応する方程式 x² + (a – 3)x – 3a = 0 の解を求めます。この方程式を解の公式を使って解くと、xの解は次のように得られます。
- x = (-(a – 3) ± √((a – 3)² – 4(1)(-3a))) / 2(1)
ここで、解の公式の中でaの範囲を求める必要があります。aによってこの解の整数解がどう変わるかを分析します。
3. 整数解がただ一つとなる条件
2つの不等式を同時に満たす整数解がただ一つとなるためには、xの解が重なる部分において、1つだけ解が存在する条件が必要です。すなわち、x = -2, 4 の範囲内で2つ目の不等式が1回だけ解を持つようなaの範囲を求めます。
これをグラフを使って可視化すると、aの値によって2つ目の不等式の解がどのように変化するかを見極めることができます。aの範囲に制約がかかることで、解がただ一つになる範囲を導き出します。
4. 結論とaの範囲
上記の計算と分析から、aの範囲は特定の条件を満たす値に絞られます。この範囲を求めることで、xが整数で解を持ち、かつその解がただ一つ存在するようなaの範囲が得られます。
5. まとめ
この問題では、2つの2次不等式を解くことで、同時に満たす整数解がただ一つ存在するaの範囲を求める方法を解説しました。具体的な計算過程を踏むことで、解の範囲が導かれました。
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