積分の基本的な問題である∫e^5x dxの解き方について解説します。ここでは、指数関数の積分の一般的な方法を紹介し、どのようにして答えを導き出すのかをステップバイステップで説明します。
1. 問題の確認
与えられた積分は、∫e^5x dxです。このような問題は、指数関数の積分における基本的な形となります。指数関数e^xの積分は比較的簡単ですが、指数の係数が5であるため、少し工夫が必要です。
2. 変数変換を使う
指数関数の積分を解く際には、変数変換を使うことが有効です。ここで、5xを新しい変数uとして置き換えます。
- u = 5x
- du = 5dx
dxをduで表すと、dx = du/5となります。これにより、積分式が簡単になります。
3. 積分式の変換
変数変換を行った後、積分式は次のように変わります。
- ∫e^u (du/5)
これを整理すると、次のように表すことができます。
- (1/5) ∫e^u du
ここで、∫e^u duは指数関数の基本的な積分で、結果はe^uです。
4. 最後のステップ
したがって、積分の結果は次のようになります。
- (1/5) e^u + C
uを元の変数xに戻すと、最終的な答えは次のようになります。
- (1/5) e^(5x) + C
これが積分∫e^5x dxの解答です。
5. まとめ
∫e^5x dxを解くためには、変数変換を使うことがポイントです。指数関数の積分では、指数の係数を変数として置き換え、その後積分を行います。最終的に、(1/5) e^(5x) + Cという結果が得られます。この方法は、指数関数の積分を解く際に広く使われる手法です。
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