固有値と固有ベクトルの問題において、行列の転置を使った関係式が登場することがあります。特に、行列Aが(2, 1)の固有ベクトルに対して特定の関係式を満たすとき、なぜその関係式が一般のn乗でも成り立つのかを理解することが重要です。この記事では、行列Aとその転置の関係式がどのように成り立つのかを解説します。
問題の整理
問題は、次の式が成り立つことを示すことです。
A(2, 1)T = 5(2, 1)が成り立つとき、A^n(2, 1)T = 5^n(2, 1)T
ここで、Aは行列、(2, 1)は固有ベクトル、Tは転置を表しています。与えられた式が示す関係は、行列Aが特定の固有ベクトルに作用したとき、その転置を取った場合でも同じような関係が成り立つことを示しています。
行列の転置と固有ベクトルの関係
まず、行列とその転置の関係を復習しましょう。行列Aが固有ベクトルvに作用するとき、次のような関係が成り立ちます。
A v = λ v
ここで、λは固有値です。固有ベクトルvは行列Aに対してスカラー倍されるだけで、方向が変わることはありません。
次に、行列Aの転置に対する固有ベクトルの関係を考えます。転置行列A^Tは、行列Aの行と列が入れ替わったものです。転置行列の固有ベクトルも、元の行列と同様にスカラー倍される性質を持っています。
関係式が成り立つ理由
与えられた式、A(2, 1)T = 5(2, 1)が成り立つとき、なぜその式がA^n(2, 1)T = 5^n(2, 1)Tに拡張できるのでしょうか？
これは、行列の累乗と固有ベクトルの関係に基づいています。行列Aが固有ベクトルvに作用するとき、A^n v = λ^n vが成り立ちます。つまり、行列Aをn回掛けた結果も、固有ベクトルvはスカラー倍されるだけで方向が変わることはありません。
同様に、転置行列A^Tが固有ベクトルに作用した場合、(A^T)^n v = (λ^T)^n vが成り立ちます。この性質が、A^n(2, 1)T = 5^n(2, 1)Tという関係式を導く理由です。
実際の計算例
具体的な計算例を見てみましょう。もしAが2×2行列であり、その固有ベクトル(2, 1)に対してA(2, 1)T = 5(2, 1)が成り立つとき、次のような計算が進みます。
A^2(2, 1)T = 5^2(2, 1)T
このように、行列Aの累乗が固有ベクトルに作用するたびに、その転置も同様のスカラー倍されることが確認できます。
まとめ
行列の転置に関する問題で、固有ベクトルに関して行列Aが満たす関係式が、累乗に対しても成り立つ理由は、行列の累乗が固有ベクトルに対してスカラー倍を繰り返す性質を持っているからです。転置行列においても同様の性質が適用されるため、A(2, 1)T = 5(2, 1)が成り立つならば、その累乗も同様に成り立ちます。
この関係式を理解することは、固有値や固有ベクトルを用いた問題の解法において非常に重要です。行列の性質をしっかりと理解することで、複雑な問題を解くための基盤を築くことができます。
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