場合の数の問題は、サイコロを使った確率計算においてよく登場します。特に、出目の和が特定の倍数になる組み合わせや、目の数の和が特定の値になる組み合わせを求める問題には違いがあることがあります。この記事では、2つの異なるサイコロの問題について、その違いを明確に解説します。
問題の整理: ①と②の違い
質問の2つの問題を整理しましょう。問題①では、3個のサイコロを投げて出目の和が8の倍数になる組み合わせを求める問題です。一方、問題②では、サイコロを3個投げたときに出目の和が9になる組み合わせを求める問題です。
一見すると、どちらもサイコロの出目の和に関する問題であり、計算方法に類似性があるように思えますが、実際には求め方に重要な違いがあります。以下では、これらの違いについて詳しく見ていきます。
問題①のアプローチ: 和が8の倍数になる組み合わせ
問題①では、サイコロの出目の和が8の倍数になる組み合わせを求めます。具体的には、和が8、16となる場合の出目の組み合わせをリストアップします。
和が8の場合、可能な組み合わせは「116」「125」「134」「224」「233」の5通りです。同様に、和が16の場合は「466」「556」の2通りです。このため、合計で7通りとなります。
ここで重要なのは、和が8の倍数であることに着目して、その条件に合う組み合わせをリストアップする点です。このような場合、出目の和が決まっているため、条件を満たす組み合わせを1つずつ確認する方法が取られます。
問題②のアプローチ: 出目の和が9になる組み合わせ
問題②では、サイコロの出目の和が9になる組み合わせを求めます。この問題は、サイコロの目を区別して計算します。具体的には、サイコロをA、B、Cと区別し、目の和が9になる組み合わせを求めます。
出目が9となる組み合わせは、「126」「135」「144」「225」「234」「333」の6通りです。その後、各組み合わせに対してサイコロの順番を考慮し、順列を求めます。
計算式は、順列の公式「n!」を使用して、組み合わせの数を求めます。この場合、計算は次のようになります。
3! + 3! + 3!/2! + 3!/2! + 3! + 1 = 25通り
①と②の求め方の違い
問題①と問題②の主な違いは、計算方法とアプローチにあります。問題①では、和が8の倍数となる組み合わせを求めるため、まず和を決め、その条件に合う組み合わせをリストアップする方法を取ります。順列や組み合わせの数え方は単純であり、和が特定の数である場合に該当する組み合わせをリストアップして終わります。
一方、問題②では、サイコロを区別して計算を行います。この場合、和が9となる組み合わせをリストアップした後、順番の違いも考慮して順列を求めます。このため、組み合わせの数を計算する際には、順番も考慮した計算が必要となります。
問題①と②で求め方が違う理由
問題①と②の求め方が異なる理由は、問題の設定にあります。問題①では、和が特定の倍数（8の倍数）になる組み合わせを求めるため、組み合わせのリストアップとその検証が主な作業となります。問題②では、出目が9になる組み合わせを求める際、サイコロを区別して順列を考慮する必要があります。この違いが、計算方法に大きな差を生んでいるのです。
まとめ
問題①と問題②は、どちらもサイコロの出目に関する場合の数の問題ですが、求め方には大きな違いがあります。問題①では、和が8の倍数となる組み合わせをリストアップして計算する方法が取られ、問題②では、サイコロを区別し順列を考慮して計算する方法が必要です。
このように、問題の設定によって求め方が変わるため、アプローチの違いを理解しておくことが重要です。それぞれの問題に合わせた適切な方法を選び、計算を進めていきましょう。
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