解析接続と級数の求積：∑[n=0,∞]z^nの解析接続

本記事では、級数∑[n=0,∞] z^nの解析接続と、z=a (a≠1) における関数要素を求める方法について解説します。まず、この級数が収束する条件と、その解析接続の概念について詳しく説明し、z=aにおける具体的な関数要素を導き出します。

級数∑[n=0,∞] z^nの収束範囲

級数∑[n=0,∞] z^nは、幾何級数として知られています。この級数は、|z|<1の範囲で収束し、級数の和は次のように表されます。

∑[n=0,∞] z^n = 1 / (1 – z) （ただし|z| < 1）。

この結果から、zが1より小さい範囲で級数が収束することがわかります。zが1に近づくと、級数は発散します。

解析接続とは、収束範囲を超えた点で関数を拡張する方法です。級数∑[n=0,∞] z^nの収束範囲を超えた点での解析接続を行うためには、関数が定義される領域を拡張し、同じ形を保ちながら関数を構築する必要があります。

ここでは、z=a（a≠1）の点で関数がどのように振る舞うかを調べます。この解析接続により、z=aでの関数要素を求めることができます。

z=a (a≠1) において、級数∑[n=0,∞] z^nは、解析接続を行うと次のように表されます。

f(a) = 1 / (1 – a) （ただし、|a|<1）。

この式は、z=aが収束範囲内にある場合に有効です。もしaが収束範囲外にある場合、この式は適用できません。

∑[n=0,∞] z^nの解析接続により、z=a (a≠1) での関数要素が求められることがわかりました。zの絶対値が1未満であれば、この解析接続を通じて関数が定義され、級数の和が得られます。