三角関数を使った式の値域を求める問題は、よく出題される数学の課題です。この問題では、z = 2cosθ – 3sinθ の値域を求める方法について解説します。θが0から1の範囲であることを考慮し、最適なアプローチを説明します。
1. 問題を整理する
与えられた式は、z = 2cosθ – 3sinθ です。ここで、θの範囲は 0 < θ < 1 です。この問題では、θの値域が与えられているので、まずはこの式がどのように変化するのかを理解することが重要です。
この式は、cosθ と sinθ の組み合わせであるため、一般的な三角関数の性質に基づいて解くことができます。
2. 一般的な方法：合成関数に変換する
この問題を解くには、まず式を合成関数の形に変換することが有効です。2cosθ – 3sinθ の形は、合成三角関数の形に変換できます。一般的に、a * cosθ + b * sinθ を R * cos(θ – α) の形に変換する方法があります。
この場合、a = 2、b = -3 ですので、次のように計算します。
- R = √(a² + b²) = √(2² + (-3)²) = √(4 + 9) = √13
- tanα = b/a = -3/2 となるαを求めます。
これにより、元の式は次のように表せます。
z = √13 * cos(θ – α)
3. 値域の計算
次に、z = √13 * cos(θ – α) の値域を求めます。cosθ の値域は -1 から 1 であるため、z の値域は次のように求められます。
- 最小値：z = -√13
- 最大値：z = √13
したがって、z の値域は -√13 ≤ z ≤ √13 となります。
4. 結論
z = 2cosθ – 3sinθ の値域は、θが0 < θ < 1 の範囲において、-√13 ≤ z ≤ √13 となります。このように、三角関数の合成を利用することで、問題を簡単に解くことができます。
まとめ
三角関数の値域を求める問題では、合成三角関数の形に変換することが有効です。今回の問題も、cosθとsinθの線形結合を合成三角関数の形に変換することで、簡単に値域を求めることができました。
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