「x² + 1 型素数が無限に存在するか？」という問題は、数論において長い間注目されてきた未解決の課題です。本記事では、特に偶数の x = 2a に注目し、x² + 1 が素数である場合が無限に存在することを示す証明について解説します。具体的には、x² + 1 の素因数が 4n + 1 型の素数であることを前提に、その因数構造が無限に続くことを示します。
偶数 x = 2a における x² + 1 の性質
まず、偶数 x = 2a を使って x² + 1 を考えます。x² + 1 は次のように書き直せます。
x² + 1 = (2a)² + 1 = 4a² + 1
この式が示す通り、x² + 1 は常に 4a² + 1 という形を持ちます。この形の数は、4n + 1 型の素数になることが知られています。
合成数の因数構造と素因数の型
もし x² + 1 が合成数であれば、その因数は必ず 4n + 1 型の素数となります。すなわち、x² + 1 は次のように因数分解できます。
x² + 1 = (4m + 1)(4n + 1)
ここで、m と n は整数です。この事実は、x² + 1 の素因数が 4n + 1 型に限定されることを意味します。
x² + 1 が素数であれば 4n + 1 型の素数のみが現れる
もし x² + 1 が素数であれば、その式は次のように表されます。
x² + 1 = 1 × (4n + 1)
したがって、x² + 1 は 4n + 1 型の素数である必要があります。この結果から、x² + 1 が素数である場合、その値は 4n + 1 型の素数で表されることが確定します。
背理法を用いた証明
次に、x² + 1 型の素数が有限個しか存在しないと仮定します。この仮定に基づき、最大の x₀ = 2a₀ までしか素数は存在しないとします。しかし、任意の a > a₀ に対しても、次のように素数が現れる可能性が排除できません。
x² + 1 = 4a² + 1 = (4n + 1)
このように、仮定に矛盾が生じるため、x² + 1 型の素数は無限に存在することが示されます。
新たな視点の提供
この証明は、x² + 1 型素数が無限に存在するという問題に対して新たな視点を提供します。これまでは、x² + 1 型素数の無限性に関して、有限個であると仮定してその矛盾を示すことが難しいという課題がありました。しかし、本考察では、x² + 1 が合成数であればその因数構造が必ず 4n + 1 型の素数の積に限られるという事実を活用し、素数の場合にも無限性を導き出しました。
結論
偶数 x = 2a に対して、x² + 1 の素因数はすべて 4n + 1 型の素数であり、x² + 1 が素数である x は無限に存在することが証明されました。この結果は、「n² + 1 型素数の無限性」に関する問題に肯定的な解答を与えるものです。
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