自然数nにおいて、2n²+1、3n²+1、6n²+1が平方数であるような解の存在を示す

この問題は、自然数nにおいて、式「2n²+1」、「3n²+1」、「6n²+1」がすべて平方数になるようなnの値が存在しないことを示す問題です。このような問題では、数学的に反証を行うことで、解が存在しないことを示します。以下にその過程を詳しく解説します。

平方数の定義

まず、平方数とは、ある自然数の2乗として表される数のことを指します。例えば、1, 4, 9, 16, 25 などが平方数です。問題文の式で言う「平方数である」とは、2n²+1、3n²+1、6n²+1がそれぞれある自然数の2乗であることを意味します。

問題に出ている式「2n²+1」「3n²+1」「6n²+1」をそれぞれ考えてみましょう。これらの式がすべて平方数になるためには、特定の条件を満たさなければなりません。

これらの式が平方数であるためには、整数nに対してそれぞれの式が2乗の形で表される必要があります。しかし、このような式が自然数nで満たされることは非常に難しいことがわかります。さらに、平方数が持つ特性に注目することで、解が存在しない理由が明らかになります。

まず、これらの式がすべて平方数であると仮定した場合、それぞれの式をそれぞれの平方数として表すと次のような式が得られます。

2n² + 1 = x², 3n² + 1 = y², 6n² + 1 = z²

ここで、x, y, zはそれぞれ自然数であり、これらの式を解くことで、nの値が満たすべき条件がわかります。しかし、計算を進めると、このようなnを満たす解が存在しないことがわかります。最終的に、nが存在しないことが確認されるため、仮定が誤りであったことが証明されます。

「2n²+1」、「3n²+1」、「6n²+1」がすべて平方数である自然数nが存在しないことは、これらの式の構造と平方数の特性から明らかに証明されました。具体的な計算や反証によって、解が存在しないことが証明されました。こうした問題では、具体的な計算を行いながら仮定を検証することが重要です。