数学において、曲線の長さを求める問題は解析学の重要なテーマです。特に、与えられた曲線方程式に対して、区間内での長さを計算する方法について解説します。今回は、曲線x^3 + y^3 – 6xy = 0において、-3≦x≦3の範囲で曲線の長さを求める方法を詳しく見ていきます。
曲線の長さの公式
曲線の長さを求めるには、以下の式を使用します。これを「曲線の長さの公式」と呼びます。
曲線の長さ L は、次の積分式で求められます。
L = ∫[a,b] √(1 + (dy/dx)^2) dx
ここで、dy/dxは曲線の傾き、aとbは積分区間を示します。つまり、曲線上の各点における微小な長さを積分して全体の長さを求めるわけです。
曲線方程式の変形と微分
まず、与えられた曲線x^3 + y^3 – 6xy = 0の式をyについて解く必要があります。この式を解くことで、yの関数としてxを表現でき、微分が可能となります。
x^3 + y^3 – 6xy = 0をyについて解くと、yは次のように求められます。
y = (x^3) / (6x - x^2)
次に、この式を微分してdy/dxを求めます。dy/dxの値を計算し、それを曲線の長さの公式に代入します。
微分の計算と曲線の長さの求め方
dy/dxを計算するために、まずy = (x^3) / (6x – x^2)を微分します。微分結果は以下のようになります。
dy/dx = (3x^2(6x - x^2) - x^3(6 - 2x)) / (6x - x^2)^2
これを積分に代入して、曲線の長さを求めます。
長さLは次のように計算できます。
L = ∫[-3,3] √(1 + ((3x^2(6x - x^2) - x^3(6 - 2x)) / (6x - x^2)^2)^2) dx
この積分を数値的に計算することで、曲線の長さを求めることができます。
まとめと計算結果
曲線x^3 + y^3 – 6xy = 0の長さを求めるには、まずyをxの関数として求め、その後微分して、曲線の長さの公式に代入します。最終的に積分を解くことで、指定された範囲内での曲線の長さを計算することができます。数値的に計算すると、曲線の長さが得られます。
コメント