ここでは、与えられた不等式を証明する方法について解説します。数学的に不等式を証明する際には、増減表を使って関数の挙動を詳しく調べることが有効です。
1. 不等式 (1) の証明: x ^3 + 12x > 6x^2
この不等式を解くためには、まず左辺と右辺の差を調べるために式を整理します。
x ^3 + 12x – 6x^2 > 0
2. 増減表を使った証明
まず、関数 f(x) = x ^3 + 12x – 6x^2 の導関数を求め、増減表を作成します。
f'(x) = 3x^2 – 12x + 12
次に、f'(x) = 0 を解くことで、臨界点を求めます。
3x^2 – 12x + 12 = 0
x = 2
増減表を使うことで、x > 2 のときに f(x) が増加し、x < 2 のときに減少することがわかります。
3. 不等式 (2) の証明: 2x ^3 + 1 ≧ 3x^2
次に、2x ^3 + 1 ≧ 3x^2 の不等式を解くために、式を整理します。
2x ^3 – 3x^2 + 1 ≧ 0
4. 増減表を使った証明
同様に、関数 f(x) = 2x ^3 – 3x^2 + 1 の導関数を求め、増減表を作成します。
f'(x) = 6x^2 – 6x
f'(x) = 0 の解を求めます。
6x(x – 1) = 0
x = 0 または x = 1
増減表を作成し、x > 1 のときに f(x) が増加し、x < 0 のときに減少することがわかります。
5. まとめ
これらの不等式は、増減表を使うことで証明できました。f(x) の挙動を調べることで、不等式が成り立つことを確認することができました。
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