xy平面上での直線と曲線の共有点を求める方法:数2領域の問題解説

高校数学

数2領域の問題で、直線と曲線の共有点を求める問題はよく出題されます。この記事では、xy平面上で原点と点(1,2)を結ぶ直線と、曲線y=x²+ax+bがどのように共有点を持つかを解くための手順を解説します。

問題の設定と基本的な考え方

まず、問題の設定を確認しましょう。原点と点(1,2)を結ぶ直線Lの式はy=2xです。この直線と、曲線y=x²+ax+bが共有点を持つようなaとbの組み合わせを求めます。このような問題では、まず直線と曲線の交点を求めることが大切です。

直線と曲線が交わる条件は、直線の式を曲線の式に代入して求めることができます。そのため、まずは直線の式y=2xを曲線の式y=x²+ax+bに代入します。

共有点を求めるための方程式

直線の式y=2xを曲線y=x²+ax+bに代入すると、次のような方程式が得られます。

2x = x² + ax + b

これを整理すると、x² + (a-2)x + b = 0という2次方程式になります。この方程式の判別式Dが0以上であれば、実数解が存在し、曲線と直線は共有点を持つことになります。

判別式の計算と条件

判別式Dは、2次方程式の解の有無を判断するために使用されます。Dが0以上であれば、実数解が存在し、曲線と直線は共有点を持ちます。判別式Dは次のように計算されます。

D = (a-2)² – 4b ≧ 0

この条件を満たすaとbの組み合わせが、直線と曲線が共有点を持つ条件となります。

具体例を交えた解法

具体的に、曲線と直線が1点で交わる場合や2点で交わる場合の条件も考えます。例えば、曲線と直線が1点で交わるとき、x=1を代入するとf(1)=1+a+b≧2となり、さらにf(0)=b≦0となる必要があります。このような条件を満たすaとbの範囲を求めることが重要です。

解法における軸の条件の理解

「軸の条件が0≦a≦2になる理由」については、曲線y=x²+ax+bの軸がx=-a/2であることを考えます。軸が[0,1]にあるとき、aの範囲は0≦a≦2となります。この条件を踏まえて、aとbの関係を整理していきます。

まとめ

xy平面上で直線と曲線が共有点を持つ条件を求める問題は、判別式を使ってaとbの関係を求めることで解くことができます。直線と曲線が1点で交わる場合や2点で交わる場合、それぞれの条件を慎重に確認しながら解いていきましょう。また、軸の条件についても理解を深めることが重要です。

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