三角形の面積が等しくなる点Pの座標を求める方法

この問題では、関数y=x^2とy=2x+8のグラフの交点、点P、点Qを含む三角形の面積が等しくなる条件を元に、点Pの座標を求めます。まずは、問題文に基づいて各要素を整理し、解き方を順を追って説明します。

1. 問題の整理

与えられた関数は、y=x^2（放物線）とy=2x+8（直線）です。これらの交点をA、Bとし、Aのx座標は0より小さいという条件も与えられています。

交点A、Bを求めるために、y=x^2とy=2x+8を連立させます。

y=x^2 と y=2x+8 を等式で結びます。

 x^2 = 2x + 8

これを整理すると。

 x^2 - 2x - 8 = 0

この2次方程式を解くと、xの値は -2 と 4 となります。したがって、交点Aはx=-2、交点Bはx=4となります。

点Pは、y=x^2上の任意の点で、点PからX軸に垂直な線を引いたとき、その交点をQとします。このとき、三角形PABと三角形PQBの面積が等しくなるときのPの座標を求めることが目標です。

三角形の面積を求めるためには、底辺と高さを求めます。三角形PABとPQBの面積が等しい条件を使います。

三角形PABの底辺はABのx座標の差、つまり 4 – (-2) = 6 です。高さは、点Pのy座標です。点Pの座標を(x, x^2)とした場合、高さはx^2です。

三角形PQBの底辺はQBのx座標の差、つまり 4 – x です。高さはx^2です。

三角形の面積が等しいという条件を使って方程式を立て、点Pの座標を求めます。これにより、xの値が求まります。

最終的に、点Pの座標が求まります。この解法を使って、三角形の面積が等しい条件で点Pを求めることができました。