3けたの自然数が7で割り切れる理由についての解説

この問題では、3けたの自然数の上位2けたから、下位1けたの数の2倍を引いた残りが7で割り切れる時、その数が7で割り切れることを示します。

1. 数字の構成

まず、3けたの自然数を100a + 10b + c と表します。ここで、a, b, c はそれぞれ百の位、十の位、一の位の数字です。

問題で示された条件は「上位2けたの数から、一の位の数の2倍を引いた残りが7で割り切れる」です。すなわち、10a + b – 2c が7で割り切れることを意味します。

2. 和と差の関係

ここで重要なのは、式が「100a + 10b + c」から「10a + b – 2c」を引いたときに、その差が7で割り切れるという点です。式を整理すると、元の数が7で割り切れる理由が分かります。

この式を簡単に表すと、(100a + 10b + c) – (10a + b – 2c) = 90a + 9b + 3c となります。この式は、90a + 9b + 3c が7で割り切れるという条件を満たします。

3. 7で割り切れる理由

90a + 9b + 3cが7で割り切れるため、元の数も7で割り切れることが確認できます。計算すると、100a + 10b + cが7で割り切れることが分かります。

4. まとめ

つまり、3けたの自然数の上位2けたから一の位の数の2倍を引いた残りが7で割り切れる場合、その元の数も7で割り切れることが証明されます。この問題は、数式の操作を通じて割り算の性質を理解する良い練習になります。