この質問では、「1から777までの自然数を1つずつかけ合わせた数Aについて、Aの1の位から0が連続して何個並ぶか」を求める問題において、なぜ2の累乗の倍数を数えず、5の累乗の倍数のみを数えるのかについて解説します。
問題の理解と必要な計算
まず、問題文を整理します。「1から777までの自然数を掛け合わせた数A」において、その1の位から連続して0が何個並ぶかを求めるというものです。0が並ぶ回数は、数Aに含まれる10の倍数の数に関連しています。10は2と5の積であるため、Aに含まれる2と5の組み合わせ、すなわち10の倍数の数を数えることで、0の個数を求めることができます。
なぜ5の倍数を数えるのか
まず、10の倍数は「2×5」で成り立っています。Aの計算式には2と5の素因数が含まれており、この2と5がそれぞれ何回掛け合わされるかが重要です。2の倍数は1から777までのほとんどの数字に含まれていますが、5の倍数は間隔が広く、5の累乗の倍数はさらに稀です。
そのため、計算を簡略化するために、5の倍数と5の累乗（5^2, 5^3, など）の倍数が何個含まれているかを数え、その回数が10で割り切れる回数を示します。これによって、0の個数が分かります。
2の倍数を数えない理由
2の倍数は非常に多く含まれているため、わざわざ数える必要はありません。Aの中には、ほぼ全ての自然数が2の倍数を含んでいます。したがって、2の倍数に注目することなく、5の倍数だけを数えることで十分にAに含まれる10の倍数の回数を求めることができます。
具体的には、Aに含まれる5の倍数（5, 10, 15, …）とその累乗（25, 125, …）を数えることで、Aがどれだけ10で割り切れるかを判断するのです。
0の個数を求める計算手順
では、5の倍数とその累乗を数える方法を見てみましょう。まず、1から777までの5の倍数の数を数えます。次に、5の累乗（25, 125など）を考慮して、それぞれがどれだけAの中で含まれているかをカウントします。この方法で得られる数が、Aの1の位から何個の0が連続しているかを示します。
最終的な計算では、5の倍数を数えることで求めた回数が答えとなり、この回数が193個であることがわかります。
まとめ
この問題では、Aの1の位から連続して0が何個並ぶかを求める際、なぜ5の累乗の倍数を数えるのか、また2の倍数を数えない理由について解説しました。要点は、Aに含まれる10の倍数を数えるためには、5の倍数とその累乗を数えることが重要であるという点です。これにより、計算が簡略化され、正確な答えを得ることができます。
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