二次関数の最小値を求める方法と場合分けの解説

数学の問題では、二次関数の最小値を求める際に場合分けを行うことがあります。特に、二次関数の範囲指定に基づく最小値を求める問題で、どのように場合分けを行うかが重要です。この記事では、二次関数の最小値を求める際の一般的な考え方と、実際の例題に基づいた解説を行います。

二次関数の最小値を求める方法

まず、二次関数f(x)=-x²-2x+3のt≦x≦t+1における最小値を求める問題について考えます。ここでは、まず二次関数のグラフを描いて、その範囲内での最小値を確認する方法が一般的です。最小値を求めるためには、関数の極値を求め、その位置における値を確認します。

場合分けの必要性

この問題での「場合分け」は、二次関数の最小値がどの位置で現れるかによって異なります。特に、関数の軸（x = -3/2）の位置を基準にして、tの値によって異なる解法を適用することが求められます。例えば、t< -3/2のとき、最小値は左側の端点で決まりますし、t > -3/2のときは、軸の位置で最小値を求める必要があります。

別の二次関数の最小値を求める方法

次に、関数f(x)=x²−6x+3における最小値を求める問題を見てみましょう。この場合も、同様に最小値を求めるためには場合分けを行う必要があります。t≦x≦t+1の範囲内での最小値を求める方法は、xの範囲を指定し、その範囲内での最小値を求める形になります。この場合、関数の軸の位置を基準にして、場合分けを行います。

場合分けの違い

二つの問題の違いは、軸の位置が異なるため、最小値の位置を決めるための基準が異なる点です。問題ごとに求める範囲や軸の位置を確認し、その条件に基づいて最小値を求めるための方法が異なるのです。

まとめ：場合分けと最小値の求め方

最小値を求める問題では、関数の形や指定された範囲に基づいて適切な場合分けを行うことが重要です。問題に応じて、最小値がどこで現れるかを確認し、その位置における関数の値を求めることで、解答に至ります。最小値を求めるためには、関数のグラフをしっかりと理解し、範囲指定に基づいた場合分けを行うことが大切です。