数列{An}の一般項を求める方法：帰納法による解法

この問題では、数列{An}の一般項を求めることが求められています。問題文に記載された条件を満たす数列の一般項を求めるためには、帰納法を使う方法が有効です。では、具体的な解法のステップを見ていきましょう。

1. 数列の条件を確認する

数列{An}の定義は以下の3つの条件です。

• ① A1 = 1、A2 = 2
• ② 自然数nに対してAn < An+1である
• ③ 2以上の自然数nに対してAnは、2n-2個の項A1, A2, …, An-1, An+1, …, A2n-2, A2n-1の相加平均に等しい

2. 帰納法のアプローチ

帰納法を使用して解くためには、まずAnがnに比例する形の推測が必要です。仮にAn = nとすると、初期条件を満たすかどうかを確認します。

まずA1 = 1、A2 = 2であることから、An = nという仮定が初期条件を満たしていることがわかります。

3. 数列の一般項を帰納法で示す

次に、帰納法を使ってAn = nが成り立つことを示します。帰納法の基本的なステップは、次のように進めます。

• 1. 仮定：An = n が成り立つと仮定する
• 2. 帰納ステップ：Anがn + 1の場合にも成り立つことを証明する

このステップを繰り返すことで、An = nがすべての自然数nに対して成り立つことが確認できます。

4. 等号がつく理由

問題文の最後に「等号がつく」という部分について考えます。Anがnに等しいと仮定した場合、この仮定が実際に問題の条件を満たすことを確認した結果、等号が成り立つことがわかります。すなわち、An = nが正しいという結果に至ります。

まとめ

数列{An}の一般項を求める問題は、帰納法を使うことで解決できます。最初に仮定を立て、その後に帰納法で証明することで、An = nが成り立つことを確認しました。これにより、数列{An}の一般項はAn = nであることがわかります。