方程式 (a² - a - 1) x = a + 2 の解が 0 < x < 1 の範囲に存在するための a の条件

数学の問題で、方程式 (a² – a – 1) x = a + 2 の解が 0 < x < 1 の範囲に存在するための定数 a の条件について解説します。まず、この方程式を解くために必要な条件を導出し、x が指定された範囲に収まるための a の値を求める方法を説明します。

方程式の整理と解法のアプローチ

与えられた方程式は次の形です。

(a² – a – 1) x = a + 2

まず、この方程式を x について解くために、両辺を (a² – a – 1) で割ります。ただし、a² – a – 1 がゼロでないことを確認する必要があります。

a² – a – 1 = 0 の解を求めると、解の公式を使って次のようになります。

a = (1 ± √(1 + 4)) / 2 = (1 ± √5) / 2

したがって、a ≠ (1 ± √5) / 2 である必要があります。これらの値を除外することで、方程式が解ける範囲を確保します。

次に、方程式 (a² – a – 1) x = a + 2 を x について解きます。x の解は次のように求められます。

x = (a + 2) / (a² – a – 1)

この解が 0 < x < 1 の範囲に収まるための条件を考えます。まず、x > 0 であるためには、(a + 2) と (a² – a – 1) の符号が一致する必要があります。次に、x < 1 であるためには、次の不等式が成立する必要があります。

(a + 2) / (a² – a – 1) < 1

この不等式を解くと、a の条件が導かれます。計算を進めると、a の範囲が次のように求められます。

a > (1 + √5) / 2 または a < (1 - √5) / 2

この条件を満たす a の値において、方程式は 0 < x < 1 の範囲に解を持ちます。

方程式 (a² – a – 1) x = a + 2 が 0 < x < 1 の範囲に解を持つための a の条件は、a ≠ (1 ± √5) / 2 であること、また a の値が指定された範囲内に収まることです。このようにして、a の値を求めることができます。