数学の問題で、Tn = 1/4 + (1/4)^2 + (1/4)^3 + … + (1/4)^n のような無限級数の和を求める問題があります。この問題では、nを無限に大きくしたとき、Tの値を求めることが求められています。無限級数の和を求める際の基本的な方法を解説し、この問題をどのように解くかを説明します。
無限級数の和を求める基本的なアプローチ
無限級数の和を求める際に使う一般的な方法は、級数が「等比級数」である場合です。等比級数は、各項の比が一定である数列で、無限に続く場合でもその和を計算することができます。
一般的な等比級数の和は、次の式で求めることができます。
S = a / (1 – r)
ここで、aは最初の項、rは公比（各項の比）です。この式は、公比rが絶対値1より小さい場合にのみ有効です。
問題の式を等比級数として捉える
この問題では、Tn = 1/4 + (1/4)^2 + (1/4)^3 + … という形になっています。ここで、最初の項aは1/4であり、公比rも1/4です。
したがって、この数列は等比級数であり、その和を求めるために上記の公式を使用することができます。具体的には、a = 1/4、r = 1/4 となるため、無限級数の和Tは次のように求められます。
T = (1/4) / (1 – 1/4)
この式を計算すると、T = (1/4) / (3/4) となり、最終的に T = 1/3 になります。
無限級数の和の結果
したがって、T = 1/4 + (1/4)^2 + (1/4)^3 + … の無限級数の和は 1/3 です。このように、無限に続く項でも、等比級数の和を求める方法を使うことで、有限の値を得ることができます。
まとめ
無限級数の和を求める際は、等比級数の和の公式を利用することが基本です。この問題では、Tn = 1/4 + (1/4)^2 + (1/4)^3 + … のような等比級数の和を求めることが求められました。
最初の項と公比を明確にし、適切な公式を使用することで、無限に続く項の和を求めることができます。この方法を理解することで、他の無限級数の問題にも応用が可能です。
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