有理型関数が有理関数であることの証明

複素解析において、|z| <= ∞ における有理型関数が有理関数であることを示す問題です。この問題の解決には有理型関数の定義を理解し、適切にそれを証明する手法を適用します。

1. 有理型関数の定義

有理型関数とは、複素数 z に関して、分子と分母が多項式である関数のことを指します。一般的に、有理型関数は次のように表されます。

f(z) = P(z) / Q(z)

ここで、P(z) および Q(z) は多項式であり、Q(z) がゼロでないことが前提です。

2. |z|

|z| <= ∞ という条件下では、z が無限大の範囲に広がる時における有理型関数の挙動が問題になります。この場合、P(z) および Q(z) の多項式の次数が重要です。特に、Q(z) の次数が P(z) の次数よりも大きい場合、f(z) は無限大に向かって消失します。

3. 有理型関数が有理関数である理由

有理型関数が有理関数であることを証明するためには、その分子 P(z) と分母 Q(z) がいずれも多項式であることを確認する必要があります。これにより、|z| <= ∞ という範囲において、関数 f(z) が有理関数の定義に従っていることが確認できます。すなわち、f(z) は依然として多項式の比であり、有理関数としての性質を持ちます。

4. 結論

したがって、|z| <= ∞ の範囲における有理型関数は、有理関数であることが示されました。この証明では、有理型関数の基本的な構造を利用し、その定義に基づいて結論を導きました。

まとめ

有理型関数が有理関数であることは、多項式の比としての性質を持つため、必然的に証明されます。このような証明は、複素解析の基本的な考え方に基づく重要な結果です。