f(z)の全ての留数の和が0であることの証明

複素関数 f(z) が |z| <= ∞ の範囲で正則で、有限個の特異点を除く場合、その全ての留数の和がゼロであることを示します。これは留数定理と呼ばれる重要な定理に基づいています。

1. 留数定理の確認

留数定理によると、閉曲線に沿った積分が関数の特異点に関連する留数の和として表現されることを示します。具体的には、閉曲線 C を用いた f(z) の積分は、C 内にある特異点での留数の和と関係しています。

2. 特異点を含む閉曲線積分

f(z) の特異点が有限個である場合、その特異点を囲むような閉曲線 C に沿って f(z) を積分することを考えます。留数定理によれば、この積分は C 内の全ての特異点における留数の和として表されます。もし f(z) が正則であれば、この積分はゼロになります。

3. 逆に、留数の和がゼロである理由

f(z) が有限個の特異点を除いて正則であれば、f(z) の特異点を囲むような閉曲線積分を取ると、その積分値はゼロになります。したがって、全ての留数の和もゼロとなります。具体的には、全ての特異点における留数の合計がゼロであることが確定します。

4. 結論

このように、f(z) が |z| <= ∞ の範囲で正則であり、有限個の特異点を除く場合、全ての留数の和はゼロであることが示されます。これは留数定理の特別なケースとして、複素解析において非常に重要な結果です。

まとめ

f(z) の全ての留数の和がゼロであることは、留数定理に基づいて導かれます。正則な関数に対しては、この定理を適用することで留数の和がゼロであることが確認できます。